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Colle semaine 10

 
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Antoine Porot


Offline

Joined: 07 Nov 2012
Posts: 4

PostPosted: Sun 2 Dec - 13:39 (2012)    Post subject: Colle semaine 10 Reply with quote

Bonjour,
Je voudrais savoir si quelqu'un sait comment établir la question 2 du programme de colle, merci.


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PostPosted: Sun 2 Dec - 13:39 (2012)    Post subject: Publicité

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philippe


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Joined: 25 Nov 2012
Posts: 8
Localisation: Mainvilliers

PostPosted: Sun 2 Dec - 15:18 (2012)    Post subject: Colle semaine 10 Reply with quote

Dsl moi non plus je vois pas trop comment faire.

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Stübner Mathilde


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Joined: 08 Nov 2012
Posts: 1

PostPosted: Sun 2 Dec - 15:50 (2012)    Post subject: Colle semaine 10 Reply with quote

Il faut d'abord étudier le cas où la fonction f est caractéristique d'un intervalle, c'est-à-dire que dans un intervalle [a,b] inclus sur [0,1], elle vaut 1 sur [a,b] et 0 sur le reste
Donc étudier A=(l'intégrale de 0 à 1 de f(t)g(nt)dt) revient à étudier (l'intégrale de a à b de g(nt)dt)
On fait un changement de variables tel que u=nt
Ainsi on obtient A=1/n intégrale de n*a à n*b g(u)du
On pose p un entiers tel que na+p< (ou=) na+p+1
Ensuite on calcul l'intégrale A en la morcelant de na+i à na+i+1 (i variant de 0 à p-1) + le morceaux de na+p à nb
or on sait que g est 1-périodique donc n*A= p(intégrale de 0 à 1 de g(u)du )+(intégrale de na+p à nb de g(u)du )
or valeur absolue de intégrale de g(u)du < (ou =) à intégrale de na+p à na+p+1 de la valeur absolue de g(u)du =intégrale de 0 à1 de valeur absolue de g(u)du
par ailleurs p/n<b-a<p/n+1/n
Donc lim(p/n) =b-a quand n->+oo
Donc A= (b-a) intégrale de 0 à1 de g(t)dt + 1/n intégrale de na+p à nb g(t)dt qui tend vers 0 qd n-> +oo

Ensuite on considère que f est une fonction en escaliers avec une subdivision (ao=0, a1,...,an=1), telle que la restriction de f ]ai, ai+1[ vaille f indice i
donc A ici est une combinaison linéaire d'intégrale de fonction caractéristique de ai à ai+1
Donc A= somme pour i=1 à n de (fi(ai-ai-1)* intégrale de 0 à 1 de g(t)dt
Ainsi limA = (int 0 à 1 f(t)dt) *(int 0 à 1 de g(t)dt)

Maintenant on considère f une fonction continue par morceaux sur [0,1] on sait que f est limite uniforme d'une suite de fonctions en escaliers
On note (fk)k cette suite
On applique la définition de la convergence uniforme et on effectue un calcul assez similaire à celui de la question de colle de la semaine dernière où l'on utilisait le théorème de Stone Weirstrass...

Bon c'est assez compliqué à expliqué sans symbole, j’espère vous avoir un peu aidé.


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Antoine Porot


Offline

Joined: 07 Nov 2012
Posts: 4

PostPosted: Sun 2 Dec - 16:35 (2012)    Post subject: Colle semaine 10 Reply with quote

Merci Mathilde!

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SD
Administrateur

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Joined: 07 Nov 2012
Posts: 40

PostPosted: Sat 8 Dec - 11:23 (2012)    Post subject: Colle semaine 10 Reply with quote

Très belle solution de Mathilde et très bien exposée en plus. Bravo.

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